<< Математика     Программы >>

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Минимум содержания >> Требования к уровню подготовки >>
Знать Уметь
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ГЕОМЕТРИЯ

Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей:

· овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

· развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, пространственное воображение, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность;

· формирование представлений об идеях и методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования процессов и явлений;

· воспитание средствами математики культуры личности, знакомство с жизнью и деятельностью видных отечественных и зарубежных ученых-математиков, понимание значимости математики для общественного прогресса.

Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего содержания образования


Обязательный минимум содержания основных образовательных программ

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Степень с рациональным показателем. Понятие о степени с иррациональным показателем.Свойства степеней с действительными показателями.

Логарифм числа. Логарифм произведения, частного и степени, формула перехода к новому основанию. Десятичные и натуральные логарифмы. Число е.

Выражение синуса, косинуса и тангенса угла через тангенс половинного угла. Формулы перехода от сумм к произведениям и обратно. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа и их свойства.

Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Многочлены от двух переменных, однородные многочлены. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические и однородные многочлены. Исторические замечания.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексные числа и их геометрическая интерпретация. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Комплексно сопряженные числа. Комплексные корни квадратного трехчлена.

Основная теорема алгебры. Теорема Виета для многочленов произвольной степени. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Возведение в натуральную степень (формула Муавра) и извлечение корня натуральной степени из комплексного числа. Исторические замечания.

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Понятие функции, её область определения, множество значений функции и график. Способы задания функций. Монотонность функции, промежутки возрастания и убывания. Точки (локального) максимума и минимума, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность функций. Выпуклость функции. Четность и нечетность, периодичность функции. Связь между свойствами функции и ее графиком.

Элементарные функции: многочлены, дробно-линейная и рациональные функции; степенные, показательные и логарифмические функции; тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции. Свойства и графики элементарных функций. Композиция функций (сложная функция) и обратная функция. Преобразования графиков функций: сдвиги и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей, симметрия относительно осей и биссектрисы первого и третьего координатных углов. Исторические замечания.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Действительные числа. Изображение действительных чисел на числовой прямой. Несоизмеримые отрезки. Бесконечные десятичные дроби. Приближение чисел конечными десятичными дробями. Знак и модуль действительного числа, целая и дробная часть числа. Алгоритм Евклида. Аксиомы действительных чисел.

Числовые последовательности, способы их задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Понятие о пределе последовательности. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Числа p и е. Понятие о пределе функции в точке. Понятие непрерывности функции. Промежутки знакопостоянства непрерывной функции. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.

Понятие о производной функции в точке. Физический смысл производной функции, как скорости изменения этой функции. Понятие о касательной к графику функции, уравнение касательной. Геометрический смысл производной, как углового коэффициента касательной. Вторая производная как ускорение. Производные элементарных функций. Правила нахождения производных. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Использование производной при исследовании функций и построении их графиков. Использование свойств функций при решении текстовых, физических и геометрических задач. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения.

Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей криволинейных фигур, вычисление площадей поверхности и объемов фигур вращения, нахождение массы по плотности ее распределения.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и неравенства с одной неизвестной. Уравнения и неравенства с несколькими неизвестными. Системы и совокупности уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Решение рациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств, иррациональных и тригонометрических уравнений. Решение систем уравнений и неравенств. Исследование уравнений, неравенств и систем с параметрами. Равносильные преобразования. Переход к следствию с последующей проверкой. Перебор возможностей, отбор корней. Замена переменной. Универсальная тригонометрическая подстановка. Введение вспомогательного угла. Использование при решении уравнений и неравенств свойств функций: монотонности, непрерывности, периодичности, четности и ограниченности множества значений функции. Метод интервалов.

Использование графиков функций. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств, их систем и совокупностей. Графическое решение систем линейных неравенств с двумя переменными.

Составление уравнений и неравенств по текстовому описанию задачи. Задачи на движение и работу, задачи на проценты, доли, смеси. Интерпретация результата, учет ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений (целочисленность, положительность, пределы изменения). Исторические замечания.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ

Логические операции с высказываниями. Следствие и равносильность. Прямая и обратная теоремы. Необходимые условия, достаточные условия. Противоречие. Доказательство от противного. Метод математической индукции. Аксиоматический подход к построению отдельных разделов математики.

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Табличное и графическое представление результатов измерений: выборка, варианта, (вариационный) ряд данных, многоугольники распределения. Гистограммы выборок. Нормальное распределение и гауссова кривая. Числовые характеристики рядов данных: среднее, квадратичное отклонение, дисперсия. Понятие о функциональных и корреляционных зависимостях. Формулы для числа перестановок, размещений, сочетаний. Биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля и его свойства. Геометрические вероятности. Сумма и произведение случайных событий. Независимость случайных событий. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Схема и формула Бернулли. Использование таблицы значений гауссовой функции. Вероятность и статистическая частота наступления события, представление о законе больших чисел. Исторические замечания.

ГЕОМЕТРИЯ

Дополнительные главы планиметрии. Решение задач повышенного уровня сложности по курсу планиметрии. Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Способы задания прямых и плоскостей.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Параллельность и перпендикулярность. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Ортогональная проекция. Теорема о трех перпендикулярах.

Взаимное расположение плоскостей. Параллельность. Перпендикулярность. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника.

Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование. Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Поверхность многогранника. Выпуклые и невыпуклые многогранники. Многогранные углы. Неравенство для плоских углов трехгранного угла.

Призма, ее элементы: основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида, ее элементы: основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Сечения пирамиды, параллельные ее основанию. Правильная пирамида. Треугольная пирамида.

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду; сфера, описанная около треугольной пирамиды.

Сечения многогранников. Развертки многогранников. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в правильных призмах и пирамидах. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная).

Общее представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Круглые тела и поверхности.

Цилиндр, конус и их элементы: основание, образующая, высота, боковая поверхность. Развертка боковой поверхности. Шар, сфера. Сечения сферы (шара) плоскостями. Касательная плоскость к сфере. Касание круглых тел с прямыми и плоскостями.

Вписанные и описанные многогранники. Понятие о телах вращения и об их поверхностях вращения. Ось вращения.

Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Равновеликость тел. Отношение объемов подобных тел.

Объем прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.

Объем пирамиды и конуса. Площадь поверхности цилиндра и конуса.

Объем шара и площадь сферы. Площадь сферического пояса и сферического сегмента.

Координаты. Векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости.

Способы задания прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Преобразования пространства. Представление о движении в пространстве. Параллельный перенос. Центральная симметрия. Зеркальная симметрия. Симметрия многогранников.

Методы и задачи геометрии. Сведение к планиметрическим задачам: метод сечений; метод проектирования. Развертка. Построение сечений многогранников. Координатный и векторный методы. Метод центра масс.

Задачи на вычисление, доказательство и на геометрические места точек.

Задачи на максимум и минимум. Геометрические неравенства. Решение планиметрических задач стереометрическими методами. Исторические замечания.

 

Требования к уровню подготовки выпускников средней школы

В результате изучения математики в старшей школе на базовом уровне предполагается, что выпускник будет

Числовые и буквенные выражения
Уметь:

· выполнять устный счет с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями;

· находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, находить приближенные значения корня, степени, логарифма с помощью калькулятора;

· выполнять действия с многочленами, включая разложение многочленов на множители, нахождение целых корней многочлена с целыми коэффициентами, кратных корней многочлена, применять теорему Виета и теорему Безу;

· доказывать употребляющиеся алгебраические и тригонометрические формулы;

· проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

· доказывать тождества и неравенства, применяя, в том числе, бином Ньютона и формулы сокращенного умножения для старших степеней;

Применять полученные знания:

· для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

· используя при необходимости, справочные материалы, а также простейшие вычислительные устройства;

Комплексные числа
Уметь:

· выполнять арифметические действия над комплексными числами;

· изображать комплексные числа точками комплексной плоскости;

· находить комплексные корни квадратных уравнений с действительными коэффициентами;

Применять полученные знания:

· при решении задач из других разделов математики с использованием комплексных чисел;

Уравнения и неравенства

Уметь:

· решать показательные, логарифмические, иррациональные уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения,

· использовать графики при решении уравнений и неравенств;

· решать рациональные и сводящиеся к ним неравенства методом интервалов;

· решать системы уравнений с двумя переменными;

· изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений, неравенств с двумя неизвестными и их систем;

· составлять и решать уравнения, связывающие неизвестные величины в текстовых задачах;

· исследовать уравнения и неравенства в зависимости от входящих параметров, используя аналитический и графический методы;

· применять алгебраические методы и свойства функций для решения уравнений и неравенств и при доказательстве неравенств;

Применять полученные знания:

· для построения и исследования математических моделей практических задач и задач из смежных дисциплин, используя уравнения и неравенства;

· при исследовании и решении простейших задач с параметрами;

Функции и графики

Уметь:

· определять значение функции по значению аргумента, находить область определения функции (при различных способах задания функции);

· строить графики изученных функций и выполнять преобразование графиков на координатной плоскости, описывать свойства изученных функций;

· проводить исследование общих свойств функций (без производной);

· использовать свойства функций и графические представления для решения задач;

Применять полученные знания:

· для описания с помощью функций различных процессов, представления их графически, интерпретации графиков и выводов о характере протекания описываемых процессов;

· для решения уравнений, простейших систем уравнений, неравенств с применением свойств функций и графических представлений;

Начала математического анализа

Уметь:

· работать с последовательностями, выясняя их монотонность, ограниченность, поведение общего члена;

· использовать алгоритм Евклида для чисел и многочленов;

· дифференцировать изученные функции и их комбинации;

· исследовать функции и их комбинации с помощью производной, строить их графики;

· решать задачи на наибольшее и наименьшее значения с использованием элементов математического анализа; · вычислять первообразные основных элементарных функций и их комбинаций;

· вычислять площади криволинейных трапеций;

Применять полученные знания:

· при решении геометрических, физических и других прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения; · для исследования вопросов о количестве корней уравнения, для доказательства неравенств, для получения приближенных формул и оценок;

· для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций и для построения их графиков;

Элементы логики

Уметь:

· проводить логические операции с несложными высказываниями;

· сравнивать множества истинности высказываний, устанавливая равносильность высказываний или логическое следование одного высказывания из другого;

· формулировать высказывания, обратные и противоположные данным;

· различать необходимость и достаточность того или иного условия;

· применять метод математической индукции для доказательства математических утверждений;

Применять полученные знания:

· при установлении логических связей между различными повседневными явлениями;

· для отличия аргументированных от неаргументированных суждений,

· для выводов и заключений, обоснования, опровержения, иллюстрации утверждений примером, поиска контрпримеров при ведении дискуссии, при создании и анализе устных и письменных текстов;

Элементы статистики и теории вероятностей

Уметь:

· решать комбинаторные задачи изученных типов;

· вычислять вероятности события, пользуясь комбинаторными приемами, простейшими свойствами вероятности, схемой повторных испытаний;

· использовать статистические инструменты для анализа данных;

· находить числовые характеристики рядов данных измерений;

Применять полученные знания:

· при анализе информации статистического характера;

Геометрия

Уметь:

· распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении, используя определения и признаки;

· выполнять чертеж, соответствующий данной задаче;

· изображать основные многогранники (параллелепипед, призма, пирамида) и круглые тела (цилиндр, конус), выполнять чертежи по условиям задач;

· строить сечения многогранников и тел вращения;

· применять векторный и координатный методы для решения геометрических задач;

Применять полученные знания:

· для решения планиметрических и стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) с необходимыми теоретическими обоснованиями, опирающимися на изученные свойства стереометрических тел и планиметрические сведения;

· для вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач;

· для решения планиметрических и стереометрических задач на доказательство.

 

top >>