Математика >>

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
5-9 класс

Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей:

Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего содержания образования

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

АРИФМЕТИКА

Натуральные числа. Десятичная система счисления. Арифметические действия над натуральными числами. Степень с натуральным показателем.

Делимость натуральных чисел. Свойства делимости. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Деление с остатком.

Целые числа: положительные, отрицательные и нуль.

Обыкновенная дробь. Свойства дробей. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части.

Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.

Рациональные числа. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия над рациональными числами. Степень с целым показателем.

Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный.

Числовые равенства и их свойства. Числовые неравенства и их свойства.

Пропорция и её свойства.

Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту. Сложные проценты.

Текстовые задачи (на движение, работу, стоимость, смеси и др.). Решение текстовых задач арифметическим способом.

Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Корень натуральной степени из числа.

Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Запись чисел в стандартном виде.

Понятие об иррациональном числе.

Иррациональность числа . Десятичные приближения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа как периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Измерение длины отрезка. Действительные числа.

Метрические системы единиц: длины, площади, объема, массы, времени.

Исторические замечания. Римская нумерация.

АЛГЕБРА

Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с переменными). Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Числовое значение буквенного выражения. Подстановка одного выражения в другое.

Свойства степеней с целым показателем и их применение в преобразовании выражений. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о логарифме числа по данному основанию.

Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов, делимость многочленов и деление с отстаком. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности.
Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов. Разложение многочлена на множители. Вычисления значений арифметических и алгебраических выражений.

Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена.
Корень многочлена. Теорема Безу.

Алгебраические дроби. Действия с алгебраическими дробями.

Преобразования алгебраических выражений.

Уравнения и неравенства. Уравнение с одним неизвестным. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета.
Решение рациональных уравнений.
Примеры решения уравнений высших степеней, методы замены переменной, разложения на множители.

Уравнение с несколькими неизвестными. Система уравнений. Решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Методы подстановки и алгебраического сложения. Примеры решения нелинейных систем. Решение уравнений в целых числах.

Неравенство с одним неизвестным. Решение неравенства. Линейные неравенства с одним неизвестным и их системы. Квадратные неравенства. Дробно-линейные неравенства. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел. Примеры доказательств алгебраических неравенств.

Составление уравнений, неравенств и их систем по условиям задач. Решение текстовых задач алгебраическим методом. Интерпретация результата, отбор решений.

Координаты. Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, полуинтервал, луч.
Формула расстояния между точками координатной прямой.

Декартова система координат на плоскости. Координаты точки на плоскости.

Уравнение прямой. Уравнение окружности. Графическая интерпретация уравнения с двумя неизвестными.

Графическая интерпретация системы уравнений с двумя неизвестными, неравенств с двумя неизвестными и их систем.

Тригонометрия. Градусная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла.
Формулы приведения. Формулы сложения, формулы двойного угла.
Изображение действительных чисел на единичной окружности. Понятие о радианной мере угла.

Числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции. Возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции.

Прямая пропорциональность, линейная функция и ее график. Геометрический смысл коэффициентов уравнения прямой. Обратная пропорциональность и ее график (гипербола). Квадратичная функция и ее график (парабола). Координаты вершины параболы, ее ось симметрии. Степенная функция с целым показателем и ее график. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль.

Использование графиков и свойств функций для исследования и решения уравнений и систем.

Преобразования графиков: параллельный перенос вдоль осей координат и симметрия относительно осей.

Числовые последовательности и способы их задания. Рекуррентные последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий. Формулы суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий. Характеристическое свойство прогрессий. Понятие о методе математической индукции.

Исторические замечания.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.

Понятие об аксиомах и теоремах. Обратная теорема. Следствие. Необходимые условия, достаточные условия. Доказательство от противного. Контрпример.

Перестановки и сочетания. Решение комбинаторных задач. Перебор вариантов. Правило умножения.
Формула бинома Ньютона.

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Среднее результатов измерения.

Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность, приближение частоты к вероятности. Геометрическая вероятность.

Исторические замечания

ГЕОМЕТРИЯ

Геометрические формы, фигуры и тела.

Точка, прямая и плоскость. Части прямой (отрезок, луч), угол, ломаная.

Отрезок прямой как кратчайший путь между двумя точками. Расстояние. Длина отрезка.

Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Градусная мера угла.

Параллельность и перпендикулярность прямых. Признаки и свойства.

Фигуры на плоскости. Многоугольники. Виды многоугольников. Выпуклые многоугольники. Окружность и круг. Длина ломаной, периметр многоугольника.

Осевая и центральная симметрия фигур.

Понятие о равенстве в геометрии.

Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Изображение многогранников и круглых тел, сечения. Развертки.

Треугольник. Внутренние и внешние углы треугольника. Стороны треугольника, его медианы, биссектрисы, высоты. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки. Равносторонний треугольник. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Перпендикуляр и наклонная. Сумма углов треугольника. Сумма углов выпуклого многоугольника.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Подобие треугольников. Коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Вычисление элементов прямоугольных треугольников.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°. Основное тригонометрическое тождество. Теорема синусов и теорема косинусов. Вычисление элементов треугольника.

Замечательные точки треугольника. Точки пересечения серединных перпендикуляров (центр окружности, описанной около треугольника), биссектрис (центр окружности, вписанной в треугольник), медиан, высот.

Четырехугольник. Параллелограмм. Ромб, прямоугольник, квадрат. Свойства и признаки. Трапеция. Средняя линия трапеции. Вписанные четырехугольники. Описанные четырехугольники.

Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр окружности и круга. Дуга, хорда. Сектор, сегмент.

Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности. Центральный угол, вписанный угол, углы между хордами и между секущими. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника.Метрические соотношения в окружности (свойства хорд, секущих, касательных).

Правильные многоугольники. Вписанные и описанные многоугольники.

Длина окружности и длина дуги. Число p. Радианная мера угла.

Площади плоских фигур. Понятие о площади плоских фигур. Равновеликость и равносоставленность. Связь между площадями подобных фигур.

Площадь прямоугольника. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними; формула Герона. Формулы, связывающие площадь треугольника с радиусом вписанной и радиусом описанной окружности.

Площадь четырехугольника. Площадь описанного многоугольника.

Площадь круга и площадь сектора.

Координаты и векторы. Декартовы координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками.

Уравнение окружности. Уравнение прямой.

Вектор. Длина (модуль) вектора. Коллинеарные векторы. Равенство векторов.

Операции над векторами (умножение на число, сложение). Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Ортогональные вектора.

Преобразования плоскости. Движение. Виды движений: осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, центральная симметрия.

Гомотетия. Подобие фигур.

Методы и задачи геометрии. Использование свойств треугольника. Проведение дополнительных построений.

Метод геометрических мест; метод симметрии; метод подобия. Использование свойств площади.

Простейшие построения с помощью циркуля и линейки: угла, равного данному; биссектрисы данного угла; серединного перпендикуляра к отрезку; прямой, параллельной данной прямой; треугольника по трем сторонам.

Использование свойств окружности (окружность и углы; окружность и касательные).

Алгебраический метод решения геометрических задач (составление уравнений).

Координатный метод.

Векторный метод.

Задачи на вычисление, доказательство, построение и на геометрические места точек.

Задачи на максимум и минимум.

Неравенства в геометрии.

Простейшие планиметрические задачи в пространстве.

Исторические замечания. Понятие об аксиоматическом методе построения планиметрии.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Арифметика

уметь:

применять полученные знания:

Алгебра

уметь:

Геометрия

уметь: